01 ガイダンス解答解説

「物理」という学問

(1) 無限に広がる宇宙（自然）を理解しようとする学問。
　→ 法則（規則性）を見つけ出す。
　→ 未来を予測できる！
(2) 物理学（力学，電磁気学，熱力学，波動，量子力学 etc…）
(3) 究極の形：すべての現象をひとつの式で記述する

物理を学ぶ上で

(1) 脳を開け！　そして，四の五の言わず手を動かせ！
(2) 学んだことを使う！（Input-Output）
1. (ア) 人から 教わる ということ。そして，人に伝えるということ
2. (イ) とにかく復習！　⇒ 問題を解く！
3. (ウ) 普段の生活に活用する！
(3) ルール：(ア) あいさつをする　(イ) ×遅刻　×スマホ　(ウ) わからんかったら即対応！　(エ) 努力した人は報われる

練習問題①

次の (1)〜(4) の問いに答えよ。

はじめに：三角比で成分に分ける

直角三角形で，斜辺を \(a\)，角 \(\theta\) の向かいの辺を \(b\)，となりの辺を \(c\) とすると

\[ \sin\theta = \frac{b}{a}, \qquad \cos\theta = \frac{c}{a} \]

\[ \begin{aligned} \sin\theta &= \frac{b}{a} \\ \cos\theta &= \frac{c}{a} \end{aligned} \]

両辺に \(a\) をかけると \(b = a\sin\theta\)，\(c = a\cos\theta\)。つまり，角 \(\theta\) のとなりの辺は「\(\times\cos\theta\)」，向かいの辺は「\(\times\sin\theta\)」で求まる。

(1) 速度 \(v_0\) の \(x\) 軸，\(y\) 軸の成分を \(v_0\) を用いて表せ

\(x\) 軸\(\dfrac{1}{2}v_0\)

\(y\) 軸\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0\)

解説

\(v_0\) の矢印を斜辺とする直角三角形をつくる（図の破線）。\(x\) 軸の成分は 60° のとなりの辺なので \(\cos 60^\circ\)，\(y\) 軸の成分は向かいの辺なので \(\sin 60^\circ\) をかける。

\[ x\text{ 成分} = v_0\cos 60^\circ = \frac{1}{2}v_0, \qquad y\text{ 成分} = v_0\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \]

\[ \begin{aligned} x\text{ 成分} &= v_0\cos 60^\circ \\ &= \frac{1}{2}v_0 \\ y\text{ 成分} &= v_0\sin 60^\circ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}v_0 \end{aligned} \]

(2) 速度 \(v_0\) の \(x\) 軸，\(y\) 軸の成分を \(v_0\)，\(\theta\) を用いて表せ

\(x\) 軸\(v_0\cos\theta\)

\(y\) 軸\(v_0\sin\theta\)

解説

(1) の 60° が \(\theta\) になっただけ。\(x\) 軸は角 \(\theta\) のとなりの辺，\(y\) 軸は向かいの辺。

\[ x\text{ 成分} = v_0\cos\theta, \qquad y\text{ 成分} = v_0\sin\theta \]

\[ \begin{aligned} x\text{ 成分} &= v_0\cos\theta \\ y\text{ 成分} &= v_0\sin\theta \end{aligned} \]

(3) 張力 \(S\) の \(x\) 軸，\(y\) 軸の成分を \(S\)，\(\theta\) を用いて表せ

\(x\) 軸\(S\cos\theta\)

\(y\) 軸\(S\sin\theta\)

解説

天井と糸のなす角 \(\theta\) は，糸と \(x\) 軸（天井と平行）のなす角と等しい（平行線の錯角）。よって \(S\) と \(x\) 軸のなす角も \(\theta\) になり，(2) と同じ形で分けられる。

\[ x\text{ 成分} = S\cos\theta, \qquad y\text{ 成分} = S\sin\theta \]

\[ \begin{aligned} x\text{ 成分} &= S\cos\theta \\ y\text{ 成分} &= S\sin\theta \end{aligned} \]

(4) 重力 \(mg\) の \(x\) 軸，\(y\) 軸の成分を \(m\)，\(g\)，\(\theta\) を用いて表せ

\(x\) 軸\(mg\sin\theta\)

\(y\) 軸\(-mg\cos\theta\)

解説

斜面の傾き \(\theta\) は，重力 \(mg\)（鉛直下向き）と \(y\) 軸（斜面に垂直）のなす角に等しい。このため \(\theta\) のとなりの辺は \(y\) 軸の向き，向かいの辺は \(x\) 軸の向きになる。

\[ x\text{ 成分} = mg\sin\theta, \qquad y\text{ 成分} = -mg\cos\theta \]

\[ \begin{aligned} x\text{ 成分} &= mg\sin\theta \\ y\text{ 成分} &= -mg\cos\theta \end{aligned} \]

\(y\) 軸の正の向き（斜面から離れる向き）と逆向きなので，\(y\) 成分には − がつく。

注意　斜面では，となりの辺が \(y\) 軸側にくるので，\(x\) 成分が \(\sin\)，\(y\) 成分が \(\cos\) になる。(1)〜(3) と入れかわるので，必ず図で角 \(\theta\) の位置を確かめる。

練習問題②

次の (1)〜(4) の \(x\)，\(y\) についての連立方程式を解き，下の解答欄に示せ。ただし，\(m > 0\)，\(M > 0\)，\(a > 0\) とする。

(1) \(\begin{cases} 7x = -3y - 5 \\ 5x + 3y = 1 \end{cases}\)

(2) \(\begin{cases} x + ay = 3 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}\)

(3) \(\begin{cases} x = my \\ F - x = My \end{cases}\)

(4) \(\begin{cases} x - am = my \\ M - x = My \end{cases}\)

解説

(1)

\(y\) の係数をそろえるために，1つ目の式を \(7x + 3y = -5\) と書きかえる（①）。2つ目を②とする。

\[ \begin{cases} 7x + 3y = -5 & \cdots ① \\ 5x + 3y = 1 & \cdots ② \end{cases} \]

①−② で \(y\) を消すと \(2x = -6\)，よって \(x = -3\)。これを②に代入すると \(-15 + 3y = 1\) より \(y = \dfrac{16}{3}\)。

(2)

文字 \(a\) を含むが，\(a\) は定数として扱う。\(x\) の係数をそろえるため，1つ目の式を2倍する。

\[ \begin{cases} 2x + 2ay = 6 & \cdots ③ \\ 2x - 3y = 2 & \cdots ④ \end{cases} \]

③−④ で \(x\) を消すと \((2a + 3)y = 4\)。問題文の条件 \(a > 0\) より \(2a + 3 > 0\)（0 にならない）なので，両辺を \(2a + 3\) で割って \(y = \dfrac{4}{2a+3}\)。これを④に代入して \(x\) を求める。

\[ 2x = 2 + 3\cdot\frac{4}{2a+3} = \frac{2(2a+3) + 12}{2a+3} = \frac{4a+18}{2a+3} \qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{2a+9}{2a+3} \]

\[ \begin{aligned} 2x &= 2 + 3\cdot\frac{4}{2a+3} \\ &= \frac{2(2a+3) + 12}{2a+3} \\ &= \frac{4a+18}{2a+3} \\ \Rightarrow\ x &= \frac{2a+9}{2a+3} \end{aligned} \]

(3)

1つ目の式（⑤）がすでに「\(x = \)」の形なので，2つ目の式（⑥）に代入して \(x\) を消す。

\[ F - my = My \qquad\Rightarrow\qquad (M + m)y = F \]

\[ \begin{aligned} F - my &= My \\ \Rightarrow\ (M + m)y &= F \end{aligned} \]

\(m > 0\)，\(M > 0\) より \(M + m > 0\) なので，両辺を \(M + m\) で割って \(y = \dfrac{F}{M+m}\)。

⑤に代入して　\(x = my = \dfrac{mF}{M+m}\)

(4)

2つの式（⑦，⑧）をそのまま足すと，\(x\) が消える。

\[ (x - am) + (M - x) = my + My \qquad\Rightarrow\qquad M - am = (M + m)y \]

\[ \begin{aligned} (x - am) + (M - x) &= my + My \\ \Rightarrow\ M - am &= (M + m)y \end{aligned} \]

(3) と同じく \(M + m > 0\) なので，両辺を \(M + m\) で割って \(y = \dfrac{M - am}{M + m}\)。

⑦より \(x = am + my\) なので，これに代入する。

\[ x = am + \frac{m(M - am)}{M+m} = \frac{am(M+m) + mM - am^2}{M+m} = \frac{(1+a)mM}{M+m} \]

\[ \begin{aligned} x &= am + \frac{m(M - am)}{M+m} \\ &= \frac{am(M+m) + mM - am^2}{M+m} \\ &= \frac{(1+a)mM}{M+m} \end{aligned} \]

ポイント　(3)(4) のような文字だけの連立方程式は，運動方程式（2つの物体の問題など）でよく出てくる。「どの文字を消すか」を決めて，足す・引く・代入するの3つで解く。

(1)\(x = -3\)，　\(y = \dfrac{16}{3}\)

(2)\(x = \dfrac{2a+9}{2a+3}\)，　\(y = \dfrac{4}{2a+3}\)

(3)\(x = \dfrac{mF}{M+m}\)，　\(y = \dfrac{F}{M+m}\)

(4)\(x = \dfrac{(1+a)mM}{M+m}\)，　\(y = \dfrac{M-am}{M+m}\)

練習問題③

次の (1)〜(5) の関数を微分せよ。また，(6)〜(10) の不定積分を求めよ（ただし，積分定数を \(C\) とする）。

(1) \(y = 3x^4 - 4x + 7\)

(2) \(y = \dfrac{5}{x}\)

(3) \(y = (x+1)(x^2+3)\)

(4) \(y = \dfrac{2x^2 - 7x + 3}{2x - 1}\)

(5) \(y = e^{-3x}\)

(6) \(\displaystyle\int (3x^2 + 3x)\,dx\)

(7) \(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx\)

(8) \(\displaystyle\int \sin 2x\,dx\)

(9) \(\displaystyle\int (x-1)^3\,dx\)

(10) \(\displaystyle\int \sqrt{2x-1}\,dx\)

解説

(1)\(x^n\) の微分

\((x^n)' = nx^{n-1}\) を各項に使う。定数 7 は微分すると 0。

\[ y' = 3\cdot 4x^3 - 4 = 12x^3 - 4 \]

\[ \begin{aligned} y' &= 3\cdot 4x^3 - 4 \\ &= 12x^3 - 4 \end{aligned} \]

(2)分数は指数の形に

\(\dfrac{5}{x} = 5x^{-1}\) と書きかえると，(1) と同じ公式が使える。

\[ y' = 5\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{5}{x^2} \]

\[ \begin{aligned} y' &= 5\cdot(-1)x^{-2} \\ &= -\frac{5}{x^2} \end{aligned} \]

(3)積の微分

\(\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\) を使う（展開してから微分してもよい）。

\[ y' = 1\cdot(x^2+3) + (x+1)\cdot 2x = 3x^2 + 2x + 3 \]

\[ \begin{aligned} y' &= 1\cdot(x^2+3) + (x+1)\cdot 2x \\ &= 3x^2 + 2x + 3 \end{aligned} \]

(4)商の微分

\(\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\) を使う。

\[ y' = \frac{(4x-7)(2x-1) - (2x^2-7x+3)\cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{4x^2 - 4x + 1}{(2x-1)^2} = \frac{(2x-1)^2}{(2x-1)^2} = 1 \]

\[ \begin{aligned} y' &= \frac{(4x-7)(2x-1) - (2x^2-7x+3)\cdot 2}{(2x-1)^2} \\ &= \frac{4x^2 - 4x + 1}{(2x-1)^2} \\ &= \frac{(2x-1)^2}{(2x-1)^2} \\ &= 1 \end{aligned} \]

別解　分子は \(2x^2 - 7x + 3 = (2x-1)(x-3)\) と因数分解できるので，\(y = x - 3\)（\(x \neq \frac{1}{2}\)）。これを微分しても \(y' = 1\)。

(5)指数関数

\((e^{kx})' = ke^{kx}\) より（\(k = -3\)）

\[ y' = -3e^{-3x} \]

(6)\(x^n\) の積分

\(\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\) を各項に使う。

\[ \int (3x^2 + 3x)\,dx = x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \]

(7)\(\dfrac{1}{x}\) の積分

\(n = -1\) のときだけは (6) の公式が使えない（分母が 0 になる）。\((\log|x|)' = \dfrac{1}{x}\) なので

\[ \int \frac{1}{x}\,dx = \log|x| + C \]

(8)三角関数

\((\cos 2x)' = -2\sin 2x\) なので，\(-\dfrac{1}{2}\cos 2x\) を微分すると \(\sin 2x\) になる。

\[ \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C \]

(9)置換積分

\(x - 1 = u\) とおくと \(\dfrac{du}{dx} = 1\)，つまり \(dx = du\)。

\[ \int (x-1)^3\,dx = \int u^3\,du = \frac{1}{4}u^4 + C = \frac{1}{4}(x-1)^4 + C \]

\[ \begin{aligned} \int (x-1)^3\,dx &= \int u^3\,du \\ &= \frac{1}{4}u^4 + C \\ &= \frac{1}{4}(x-1)^4 + C \end{aligned} \]

(10)置換積分

\(\sqrt{2x-1} = (2x-1)^{\frac{1}{2}}\) と書きかえ，\(2x - 1 = u\) とおく。\(\dfrac{du}{dx} = 2\) より \(dx = \dfrac{1}{2}du\)。

\[ \int (2x-1)^{\frac{1}{2}}\,dx = \int u^{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}} + C \]

\[ \begin{aligned} \int (2x-1)^{\frac{1}{2}}\,dx &= \int u^{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned} \]

(1)\(y' = 12x^3 - 4\)

(2)\(y' = -\dfrac{5}{x^2}\)

(3)\(y' = 3x^2 + 2x + 3\)

(4)\(y' = 1\)

(5)\(y' = -3e^{-3x}\)

(6)\(x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + C\)

(7)\(\log|x| + C\)

(8)\(-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\)

(9)\(\dfrac{1}{4}(x-1)^4 + C\)

(10)\(\dfrac{1}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}} + C\)